Centro Walter Tobagi - Pisa

Wittgenstein apre le sue lezioni sui fondamenti della matematica, a Cambridge, nel 1939. Il filosofo della matematica, afferma, ragiona sui termini e gli oggetti specifici della matematica, sulle sue relazioni e le sue specificità. Suo principale compito sarà quello di ragionare sugli oggetti reali di questa materia, ossia i numeri e tentare di capire se essi esistono, cosa sono e come possiamo conoscerli. Questa disciplina, dunque, è fortemente relazionata con le branche dell’ONTOLOGIA, della METAFISICA e dell’ EPISTEMOLOGIA; pur tuttavia non può essere inscritta in nessuna di queste tre branche, trovandosi, per così dire, nell’intersezione di esse. A queste tematiche, si deve aggiungere un attento studio delle diverse discipline matematiche, (dall’analisi, alla matematica discreta, ai diversi sistemi logici) e dei rapporti che intercorrono tra le matematiche e le scienze, (quest’ultimo è uno dei problemi più pressanti della filosofia della matematica contemporanea).

Alcuni filosofi della matematica considerano, inoltre, come loro compito quello di rendere conto della pratica della matematica così come si presenta, fornendo una loro interpretazione piuttosto che una loro critica. D’altra parte, le critiche possono implicare conseguenze importanti per la pratica della matematica e in questo senso la filosofia della matematica può coinvolgere anche il lavoro del matematico. Questo vale in particolare per i nuovi settori nei quali il processo delle dimostrazioni non ha ancora carattere consolidato rendendo rilevante la probabilità che sfugga qualche errore. Si possono contenere questi errori capendo in quali situazioni risulta più probabile incorrano. Questa è considerata una delle principali preoccupazioni della filosofia della matematica.

Più recentemente alcuni suoi studiosi hanno anche cercato di collegare la matematica agli interessi generali della filosofia, in particolare all’epistemologia e all’etica.

VEDIAMO ALCUNE SCUOLE

COSTRUTTIVISMO E INTUIZIONISMO

Queste scuole asseriscono che solo le entità matematiche le quali possono essere costruite esplicitamente, hanno diritto di essere considerate esistenti e solo esse dovrebbero essere oggetto del discorso matematico.

COSTRUTTIVISMO SOCIALE O REALISMO SOCIALE

Questa teoria vede la matematica primariamente come un costrutto sociale, come un prodotto di una cultura, soggetto a correzioni e cambiamenti. Come le altre scienze, la matematica viene vista come sforzo empirico i cui risultati sono costantemente confrontati con la ’realtà’ e possono essere scartati se non si accordano con l’osservazione o si dimostrano privi di senso. La direzione della ricerca matematica viene dettata dalle mode del gruppo sociale che la pratica o dalle necessità della società che la finanzia. Tuttavia, sebbene queste forze esterne possono cambiare la direzione di qualche ricerca matematica, vi sono forti vincoli interni (la tradizione matematica, i metodi, i problemi, i significati e i valori entro i quali i matematici sono acculturati) i quali agiscono nella direzione della conservazione della disciplina definita storicamente.

Questo va contro il convincimento tradizionale dei matematici militanti che la matematica sia in qualche modo pura o obiettiva. I costruttivisti sociali sostengono che la permanenza della matematica in effetti è fondata su molta incertezza: quando la pratica della matematica si evolve, lo status della matematica precedente è posto in dubbio e viene corretto nella misura richiesta o desiderata dalla comunità matematica corrente. Questo può vedersi nello sviluppo dell’analisi dal riesame del calcolo infinitesimale di Leibniz e Newton. I costruttivisti sostengono anche che alla matematica ben formalizzata spesso venga accordata una eccessiva considerazione, mentre alla matematica popolare ne verrebbe accordata troppo poca, per via di una fede eccessiva nelle pratiche della dimostrazione assiomatica e della revisione paritaria.

OLTRE LE SCUOLE

Invece di focalizzarsi su dibattiti circoscritti sopra la "vera natura" della verità matematica, o anche sulle pratiche peculiari dei matematici come la dimostrazione, un movimento cresciuto dagli anni 1960 agli anni 1990 ha cominciato a discutere l’idea di cercare "fondamenti" o di trovare ogni "buona risposta" alla domanda "perché la matematica funziona". Il punto di partenza di questo movimento è stato il famoso articolo di Eugene Wigner pubblicato nel 1960, nel quale si sosteneva che la felice coincidenza dell’ottimo accordo fra matematica e fisica apparisse "irragionevole" e difficile da spiegare.

A questa sfida sono pervenute risposte dalla scuola della mente incorporata (o scuola cognitiva) e dalla scuola "sociale". Bisogna tuttavia segnalare che i dibattiti sollevati non si riescono a ridurre a questi due soli.

QUASI EMPIRISMO

Una preoccupazione parallela che attualmente non si vuole contrapporre direttamente alle scuole ma critica la loro focalizzazione consiste nell’atteggiamento del quasi empirismo in matematica. Questo è derivato dalla affermazione sempre più condivisa sul finire del XX secolo che non sia possibile dimostrare l’esistenza di alcun fondamento della matematica. Questo atteggiamento talvolta viene chiamato ’postmodernismo nella matematica’, anche se questo termine sia considerato da alcuni sovraccaricato e da altri come una sorta di insulto. Si tratta di una forma molto minimale di realismo/costruttivismo che ammette che i metodi quasi-empirici e anche talvolta metodi empirici possano far parte della moderna pratica della matematica.

MATEMATICA E AZIONE

Molti utenti della matematica e studiosi che non sono impegnati primariamente nelle dimostrazioni hanno fatto osservazioni interessanti e importanti sulla natura della matematica.

Judea Pearl ha sostenuto che l’intera matematica come la si intende correntemente è stata basata su una algebra del vedere - e ha proposto una algebra del fare che la possa complementare - Questa è una preoccupazione centrale della filosofia dell’azione e di altri studi di come il "conoscere" si correli al "fare", o come la conoscenza si correli all’azione. La più importante conseguenza di queste considerazioni è la definizione di nuove teorie della verità, particolarmente degne di nota quelle appropriate per l’attivismo e per i fondamenti dei metodi empirici.

UNIFICAZIONE CON LA FILOSOFIA

La nozione di una filosofia della matematica separata dalla filosofia nel suo complesso disciplinare è stato criticato in quanto rischia di portare a "buoni matematici che fanno cattiva filosofia" - in quanto pochi filosofi sono sufficientemente esperti da comprendere le notazioni matematiche e la cultura matematica da riuscire a correlare le nozioni convenzionali della metafisica alle nozioni metafisiche più specializzate delle ’scuole’ precedentemente presentate. Questo può condurre a una sconnessione in conseguenza della quale i matematici continuano a produrre della cattiva e screditata filosofia finalizzata a giustificare una la loro Weltanschauung capace di valorizzare il loro lavoro.

Sebbene le teorie sociali, il quasi empirismo e, specialmente, la teoria della mente incorporata abbiano focalizzato maggiormente l’attenzione sulla epistemologia implicata dalle correnti pratiche della matematica, queste tendenze non riescono a collegare tali pratiche alla ordinaria percezione umana e alla comprensione quotidiana della conoscenza.

LA METEMATICA E’ UN LINGUAGGIO ?

Come ultimo tema, sebbene molti dei matematici e dei filosofi, forse la loro maggioranza, accetti l’enunciato "la matematica è un linguaggio", viene posta poca attenzione alle implicazioni di tale affermazione. La linguistica non viene applicata ai discorsi o ai sistemi di simboli della matematica, cioè la matematica viene studiata in un modo molto differente da come vengono esaminati gli altri linguaggi. La capacità di acquisire conoscenze matematiche e competenza nel loro utilizzo (la numeracy in inglese), viene vista come separata dalla alfabetizzazione e dalla acquisizione di un linguaggio naturale.

Alcuni sostengono che questa separazione è dovuta ai fallimenti non della filosofia della matematica, ma della linguistica e dello studio della grammatica naturale. Questi campi, essi affermano, non sono abbastanza rigorosi e la linguistica avrebbe la necessità di controllare maggiormente i suoi materiali. Ma una tale posizione implica che la matematica sia inerentemente superiore a tutte le altre conoscenze. Per esempio ai consideri la saggezza ecologica maturata da una cultura di gente che vive a contatto con la terra. Gli standard di rigore variano con i diversi linguaggi, ma "maggior rigore" può non significare "migliore".

Secondo altri, queste indagini più "linguistiche" dovrebbero essere collocate nell’ambito dell’informatica, la cui analisi dei linguaggi di programmazione sarebbe spesso ugualmente applicabile alla matematica o almeno ad una parte della metamatematica.

CONCLUSIONI

La filosofia della matematica è la branca della filosofia della scienza che cerca di dare risposta a domande quali: "perché la matematica è utile nella descrizione della natura?", "in quale senso, qualora se ne trovi uno, le entità matematiche (in particolare i numeri) esistono?" "perché e in che modo gli enunciati matematici sono veri?". In questo articolo sono presentati i vari approcci che vengono seguiti per rispondere a questioni come le precedenti. È utile quindi precisare che tre sono i problemi della filosofia della matematica:

Un problema ontologico: risponde alla domanda "Esistono i numeri?";

Un problema metafisico: risponde alla domanda "Che cosa sono i numeri?";

Un problema epistemologico: "Come facciamo ad accedere epistemicamente alle verità della matematica o, meglio, come possiamo sapere che ciò che ci dice la matematica è vero?";

Questi sono i problemi che la maggior parte dei filosofi, oggi, ritengono debbano essere risolti da una buona filosofia della matematica?

I POSTULATI DI PEANO Tali assiomi sono stati riformulati in linguaggio matematico contemporaneo, a partire dalle nozioni di «numero naturale», «zero» e «successore di un numero naturale», assunti come enti primitivi:

• zero è un numero naturale;

• se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale;

• se i successori di due numeri naturali sono uguali, allora i due numeri sono uguali;

• zero non è successore di alcun numero naturale;

• se A è un insieme di numeri naturali che contiene lo zero e il successore di ogni numero appartenente a esso, allora A coincide con tutto l’insieme dei numeri naturali.

L’ultimo assioma è noto come principio di induzione matematica e può essere riformulato in modo equivalente come segue: «se P è una proprietà concernente i numeri naturali soddisfatta da zero e tale che, se è soddisfatta da un dato numero naturale, lo è anche dal suo successore, allora P è soddisfatta da ogni numero naturale».

ASTIANATTE

FRASE CELEBRE di LUDWIG WITTGENSTEIN

"Una proposizione può solo dire cos’è una cosa, ma non quello che è."