Centro Walter Tobagi - Pisa

L’ELLENISMO, SCIENZA, FILOSOFIA, ARTE, CULTURE EUCLIDE

Gli Elementi di Euclide non sono solo la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta, ma costituiscono anche il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi. L’opera fu composta verso il 300 a.C. e da allora fu copiata ripetutamente . Fu inevitabile che vi si introducessero errori e variazioni; alcuni editori di epoca più tarda (come Teone di Alessandria) cercarono addirittura di perfezionare l’originale. Aggiunte posteriori, che generalmente compaiono sotto forma di scoli, forniscono ulteriori informazioni, spesso di natura storica, e nella maggior parte dei casi sono facilmente distinguibili dall’originale. Copie degli Elementi sono pervenute fino a noi attraverso traduzioni arabe, che in seguito vennero tradotte in latino nel XII secolo. La prima edizione a stampa degli Elementi uscì a Venezia nel 1482 e fu uno dei primi libri stampati.

I POSTULATI SULLE RETTE PARALLELE

In figura 1 la retta r è fissa mentre la retta s può ruotare in senso antiorario attorno al punto P. Indichiamo con Q il punto in cui r ed s si incontrano.

Man mano che s ruota si vede che il punto Q si allontana verso est sulla retta r (fig. 2).

Il punto Q si muove con continuità su r: piccole rotazioni di s determinano piccoli spostamenti di Q (e viceversa). Q assume via via tutte le posizioni possibili su r, "passa" per tutti i punti di r.

Il punto Q dunque si allontana sempre più sulla retta r. Si intuisce però che esiste una (e una sola) situazione in cui sembra proprio che le due rette non si intersechino e quindi Q non esista. In questa situazione le due rette si dicono parallele (fig. 3).

Continuando a ruotare s ci accorgiamo che il punto Q ricompare su r, questa volta però Q è a ovest (vedi animazione seguente).

Eccoci arrivati a un punto cruciale. Nella geometria euclidea si assume, assecondando l’intuizione, che per un punto P non appartenente alla retta r passi una e una sola retta s parallela a r (tale cioè che r e s non si incontrino). Tale assunzione non è altro che il quinto postulato di Euclide.

Qui di seguito sono elencati i postulati su cui Euclide (300 avanti Cristo) fondò, negli Elementi, il castello della sua geometria:

(P1) Da ogni punto a ogni altro punto è possibile condurre una linea retta;

Euclide non postula esplicitamente che per due punti passi un’unica retta, ma assume tacitamente che sia così. (P2) Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta; (P3) Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio scelto a piacere; (P4) Tutti gli angoli retti sono uguali;

Euclide ha già dato la definizione di angolo retto: se una retta r innalzata da un’altra retta s forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto. Il postulato P4 è necessario per garantire che gli angoli ottenuti con un’altra costruzione di questo tipo, relativa alle rette r’ e s’, sono uguali ai precedenti. Il postulato P4 dimostra una notevole raffinatezza logica da parte di Euclide e afferma in sostanza che il piano è uniforme (nel senso che la costruzione predetta fornisce sempre gli stessi angoli, in qualsiasi parte del piano venga eseguita). (P5) In un piano, per un punto fuori di una retta si può condurre una e una sola parallela a una retta data (due rette si diranno, con Euclide, parallele, quando non si incontrano).

In realtà Euclide formulò il quinto postulato in una forma diversa da quella qui riportata ma ad essa del tutto equivalente.

DIMOSTRAZIONE DELL’INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI

Un numero maggiore dell’unità si dice primo se ha solo due divisori distinti: 1 e se stesso. Tra 1 e 10 ci sono 5 numeri primi; Tra 10 e 100 ce ne sono 21; Tra 9.999.900 e 10.000.000 ce ne sono 9; Tra 10.000.000 e 10.000.100 ce ne sono 3. Questa è la legge di rarefazione dei numeri primi. Secondo questa legge si può pensare che i numeri primi siano in numero finito, ma non è così, infatti, Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti. Dimostrazione (metodo indiretto): Si suppone che i numeri primi siano in numero finito. Esiste allora il numero primo più grande di tutti (MAX). Se si esegue il prodotto tra MAX e tutti i numeri primi che lo precedono e si aumenta di 1 il risultato, si ottiene un nuovo numero primo N più grande di MAX: infatti dividendo N per ciascun numero primo si ottiene sempre resto 1. Questa è un’assurdità perché è in contrasto con il fatto che MAX sia il più grande numero primo. Perciò si conclude che i numeri primi sono infiniti.

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del 5° postulato (se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette) enunciato negli Elementi di Euclide. I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli.

Geometria iperbolica

La geometria di Bolyai-Lobacevskij, spesso chiamata geometria non-euclidea o iperbolica, ambienta la geometria piana all’interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili linee ’rette’ sono rappresentate dalle infinite corde.

Come si può osservare, tracciato un ’punto’ P ed una ’retta’ r, si possono trovare due ’rette’ s e t, passanti per P e per gli estremi della corda r.

Geometria ellittica

La geometria di Riemann, detta anche geometria ellittica o semplicemente geometria non-euclidea, è costruita sulla superficie di una sfera, in cui tutte le linee rette sono rappresentate dai cerchi massimi.

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Come si può osservare, fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann, ossia una coppia (A, B) di punti diametralmente opposti e una circonferenza massima r, allora ogni altra retta di Riemann passante per (A, B) interseca sempre la circonferenza massima, r, in due punti diametralmente opposti (C, D) ossia in un punto di Riemann.

EUCLIDE I POSTULATI E I TEOREMI DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

Qui di seguito sono elencati i postulati su cui Euclide (300 avanti Cristo) fondò, negli Elementi, il castello della sua geometria:

(P1) Da ogni punto a ogni altro punto è possibile condurre una linea retta;

Euclide non postula esplicitamente che per due punti passi un’unica retta, ma assume tacitamente che sia così. (P2) Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta; (P3) Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio scelto a piacere; (P4) Tutti gli angoli retti sono uguali;

Euclide ha già dato la definizione di angolo retto: se una retta r innalzata da un’altra retta s forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto. Il postulato P4 è necessario per garantire che gli angoli ottenuti con un’altra costruzione di questo tipo, relativa alle rette r’ e s’, sono uguali ai precedenti. Il postulato P4 dimostra una notevole raffinatezza logica da parte di Euclide e afferma in sostanza che il piano è uniforme (nel senso che la costruzione predetta fornisce sempre gli stessi angoli, in qualsiasi parte del piano venga eseguita). (P5) In un piano, per un punto fuori di una retta si può condurre una e una sola parallela a una retta data (due rette si diranno, con Euclide, parallele, quando non si incontrano).

In realtà Euclide formulò il quinto postulato in una forma diversa da quella qui riportata ma ad essa del tutto equivalente.

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del 5° postulato (se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette) enunciato negli Elementi di Euclide. I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli.

Geometria iperbolica

La geometria di Bolyai-Lobacevskij, spesso chiamata geometria non-euclidea o iperbolica, ambienta la geometria piana all’interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili linee ’rette’ sono rappresentate dalle infinite corde.

Come si può osservare, tracciato un ’punto’ P ed una ’retta’ r, si possono trovare due ’rette’ s e t, passanti per P e per gli estremi della corda r.

Geometria ellittica

La geometria di Riemann, detta anche geometria ellittica o semplicemente geometria non-euclidea, è costruita sulla superficie di una sfera, in cui tutte le linee rette sono rappresentate dai cerchi massimi.

immaginielli.gif (5069 byte)

Come si può osservare, fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann, ossia una coppia (A, B) di punti diametralmente opposti e una circonferenza massima r, allora ogni altra retta di Riemann passante per (A, B) interseca sempre la circonferenza massima, r, in due punti diametralmente opposti (C, D) ossia in un punto di Riemann.

I DUE TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Molto importanti sono anche i due teoremi sui triangoli rettangoli. Il primo teorema di Euclide enuncia che: “in un triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa”. Con una diversa formulazione si può anche dire che: “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno qualsiasi dei cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa” . Il secondo teorema ci dice che: “in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa”. Oppure, usando una diversa versione: “in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa”.

STORIA , FILOSOFIA E SCIENZA DELL’ELLENISMO

Filosofia, Scienza e Storia dell’ellenismo L’Impero Macedone alla morte di Alessandro Magno nel 323 a.C. L’Ellenismo, fu in senso stretto l’era in cui la Grecia di quel periodo era al suo apice delle conquiste di Alessandro Magno. Il Mondo ellenistico fu parte dell’Impero Macedone dal 334a.C. al 301 a.C. L’Ellenismo comunque è riferito ad ogni diffusione della Cultura Greca oltre la Grecia stessa e le città coloniali, compresi gli insediamenti della Sicilia e del sud Italia ed anche l’Ellenizzazione dell’Impero romano a partire dal settimo secolo a.C. fino ai primi secoli d.C. Fu comunque Alessandro Magno coi propri eserciti a esportare la cultura Greca verso est e interessò con la sua influenza le regioni del vicino oriente antico. Comunque il periodo ellenistico ebbe termine con le conquiste Romane e l’ampliamento del proprio impero ad oriente. Per concludere L’Ellenismo ha avuto il proprio effetto fino alle avvenute conquiste romane. Cultura, filosofia e scienza La morte prematura di Alessandro Magno ha impedito l’emergere di un impero unito, ma il suo lavoro ha avuto profonde conseguenze per la civiltà: ha aperto il mondo alla cultura greca o ellenica, assicurando così la sua sopravvivenza. Voleva vedere la civiltà ellenica regionale, mescolata con elementi della civiltà orientale, svilupparsi in una cultura ellenistica internazionale. Alessandro, che ammirava la cultura greca e orientale, si batteva per una cooperazione delle nazioni. A tal fine, ha fondato città con una popolazione mista e multiculturale; la lingua nelle classi superiori degli stati ellenistici era il greco. Diversi stati ellenistici hanno sperimentato per un certo periodo un forte boom spirituale. Molti greci si trasferirono nelle capitali ellenistiche come commercianti, artisti, poeti o studiosi. Riguardo alle scienze L’ellenismo ha prodotto notevoli sviluppi come ad esempio i lavori dei grandi scienziati Eratostene, Archimedes, Aristarco di Samotracia, Aristarco di Samos e Euclide, scuole filosofiche come quelle del epicurei, il Stoici, e il grande e importante librerie a partire dal Alessandria e Pergamo. Da ricordare Il lavoro astronomico di Eudosso da Cnido fu ulteriormente sviluppato nel 3 ° secolo da Aristarchos (morto nel 230 a.C.) e Eratostene. Aristarco ha posto le basi per questo visione del mondo eliocentrica e ha affermato nelle sue opere che la Terra girava sul suo asse (rivoluzione della Terra). Eratostene calcolò la circonferenza della terra con grande precisione e creò il sistema di meridiani. . Tolomeo II Filadelfo, il figlio del Tolomeo, già andato In india ha inviato esploratori all’interno di Africa. Anche nel campo del tecnologia sono stati compiuti molti progressi. In parte per questo Archimedes e Eroe di Alessandria alcuni decenni dopo fanno le loro importanti invenzioni. L’ellenismo comunque ha cambiato il volto non soltanto delle scienze ma anche del resto della conoscenza e l crescita culturale antica come l’arte e l’architettura. Alessandro Magno e i governanti ellenistici dopo di lui fondarono molte nuove città, tra cui templi, palestre, teatri e piazze, offrendo così ricche opportunità di sviluppo ad architetti e artigiani. Le residenze dei governanti divennero centri d’arte di corte, al centro dei quali si trovava il sovrano stesso. Pergamon è un esempio particolarmente eclatante di una tale città residenziale. Ma anche le classi superiori urbane si preoccuparono sempre più della loro fama tra i posteri e, per influenzare positivamente questo, fecero documentare le loro opere con statue d’onore. Anche se Alessandria era stata sistematicamente sviluppata dai Tolomei nel centro culturale del mondo ellenistico, le altre città non furono trascurate. La Madrepatria greca in particolare fu sempre più concepita dai Diadochi con donazioni in ogni tipo di forma. Seleuco lo diede al re dei re persiano Serse Biblioteca di Atene saccheggiata 200 anni prima Pisistrato di nuovo indietro. Per sfruttare l’opinione pubblica greca a proprio vantaggio, i Diadochi hanno sostenuto finanziariamente le varie città (Poleis) attraverso la fondazione e la costruzione di varie strutture, come il Olympieion ad Atene. Questo apparente sostegno alla vita culturale e alla situazione finanziaria delle città greche contrastava con la crescente e vasta impotenza politica. L’autonomia municipale era sempre più limitata agli affari urbani interni. Politica estera, difesa e le tasse erano determinate interamente dai governanti Diadochi. Nonostante ciò, le città greche furono trattate con cautela. In questo modo, la cultura e la scienza potrebbero svilupparsi nelle città nel periodo ellenistico in un modo che, per così dire, l’ellenismo. tempo moderno del antichità classica fatto.